Trasformada de Laplace
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t>0 es la función F(s), definida por:
F(s) = L {f(t)} = integral desde 0 hasta el infinito de e^-st f(t)dt
siempre y cuando la integral esté definida.
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
Sea f una función definida para t≥0, la transformada de Laplace de f(t) se define como:
que estará definida en aquellos valores de s para los que la integral es convergente. La transformada de Laplace de f(t) se representa por F(s) y se indicará F = L(f). Inversamente, llamaremos transformada inversa de Laplace de F(s) a cualquier función f(t), 0 · t < 1, tal que L(f) = F, y se indicará f = L¡1(F).
3.2.-Codiciones suficientes para que exista la trasformada de Laplace.
La integral que define la transformada de Laplace no converge necesariamente. Por ejemplo, L [1/t] ni L [et2] existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de Lf(t) son que f sea continua por tramos y que sea de orden exponencial.
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