3.2 Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace.

Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace.

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

Decimos que una  función es continua a trozos si:

1. está definida y es continua en todo , salvo en un numero  finito de puntos , para
2. 
3. Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.