christian aguirre: 2011

miércoles, 11 de mayo de 2011

3.5.1 Transformada de laplace funcion escalon unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

$H(x) = u(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Propiedades

Cambio de signo del argumento.

$H(a-x) = 1-H(x-a)\,$

La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

$H'(x-a) = \delta(x-a)\,$

Transformada de Laplace.

$\mathcal{L}\{ H(x-a) \}(s) = \frac{e^{-as}}{s}$

Límites.

$H(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^{-nx}+1}, \qquad H(x)-1 = \frac{2}{\pi}\lim_{y\to 0} \arctan \frac{x}{|y|}$

Es la integral de la función delta de Dirac.

$H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} dt$

3.5.1 Trasformada de Laplace de la Función Escalón Unitario

Para ilustrar cómo una transformada de Laplace, consideramos la función escalón unitario.

http://usuarios.multimania.es/automatica/temas/tema2/pags/laplace/img/04.jpg

La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es la unidad, a=1.

La ecuación para esta función es ,
f(t)=1

Para todos los valores de t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es:
f(t)=0

La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es

entonces

Al resolver esta operación obtenemos que la transformada de un escalón unitario es:

martes, 10 de mayo de 2011

3.5 Funcion escalon unitario

$H(x) = u(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Propiedades

Cambio de signo del argumento.

$H(a-x) = 1-H(x-a)\,$

La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

$H'(x-a) = \delta(x-a)\,$

Transformada de Laplace.

$\mathcal{L}\{ H(x-a) \}(s) = \frac{e^{-as}}{s}$

Límites.

$H(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^{-nx}+1}, \qquad H(x)-1 = \frac{2}{\pi}\lim_{y\to 0} \arctan \frac{x}{|y|}$

Es la integral de la función delta de Dirac.

$H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} dt$

3.5.1 Trasformada de Laplace de la Función Escalón Unitario

Para ilustrar cómo una transformada de Laplace, consideramos la función escalón unitario.

La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es la unidad, a=1.

La ecuación para esta función es ,
f(t)=1

Para todos los valores de t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es:
f(t)=0

La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es

entonces

Al resolver esta operación obtenemos que la transformada de un escalón unitario es:

3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas.

Definición [Funciones continuas a trozos]
Decimos que una función $f:[a,b] \rightarrow$ $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$

es continua a trozos si

está definida y es continua en todo $x \in [a,b]$ , salvo en un número finito de puntos , para $k=1,2,\ldots,n$ .

Para cada $x_k \in [a,b]$ los límites

$\displaystyle f(x_k^+) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x_k + h) \hspace{1cm} f(x_k^-) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x_k - h)$
Existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si

es uno de los extremos de

.
En General, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos

implica que las únicas discontinuidades de

son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen el la figura 1.2.

Figura 1.2

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas.
La función escalón unitario también se puede usar para expresar funciones definidas por tramos en forma compacta; por ejemplo la función

equivale a

De igual forma, una función del tipo :

Se puede escribir en la forma eeee

3.3 Transformada de Laplace de funciones basicas

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Propiedades

Potencia n-ésima

Otras transformadas comunes

lunes, 2 de mayo de 2011

3.2 Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace.

Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace.

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

Decimos que una función es continua a trozos si:

está definida y es continua en todo , salvo en un numero finito de puntos , para
Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.