christian aguirre: 3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas.

Definición [Funciones continuas a trozos]
Decimos que una función $f:[a,b] \rightarrow$ $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$

es continua a trozos si

está definida y es continua en todo $x \in [a,b]$ , salvo en un número finito de puntos , para $k=1,2,\ldots,n$ .

Para cada $x_k \in [a,b]$ los límites

$\displaystyle f(x_k^+) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x_k + h) \hspace{1cm} f(x_k^-) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x_k - h)$
Existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si

es uno de los extremos de

.
En General, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos

implica que las únicas discontinuidades de

son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen el la figura 1.2.

Figura 1.2

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas.
La función escalón unitario también se puede usar para expresar funciones definidas por tramos en forma compacta; por ejemplo la función