christian aguirre: 3.5 Funcion escalon unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

$H(x) = u(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Propiedades

Cambio de signo del argumento.

$H(a-x) = 1-H(x-a)\,$

La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

$H'(x-a) = \delta(x-a)\,$

Transformada de Laplace.

$\mathcal{L}\{ H(x-a) \}(s) = \frac{e^{-as}}{s}$

Límites.

$H(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^{-nx}+1}, \qquad H(x)-1 = \frac{2}{\pi}\lim_{y\to 0} \arctan \frac{x}{|y|}$

Es la integral de la función delta de Dirac.

$H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} dt$

3.5.1 Trasformada de Laplace de la Función Escalón Unitario

Para ilustrar cómo una transformada de Laplace, consideramos la función escalón unitario.

http://usuarios.multimania.es/automatica/temas/tema2/pags/laplace/img/04.jpg

La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es la unidad, a=1.

La ecuación para esta función es ,
f(t)=1

Para todos los valores de t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es:
f(t)=0

La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es